2009학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 공통 24번

자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}_n(x_n,0)$, $\mathrm{B}_n(0,x_n)$, $\mathrm{C}_n(x_n,x_n)$을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 $T_n$을 다음 조건에 따라 그린다.

삼각형 $T_n$의 넓이를 $a_n$, 삼각형 $T_n$의 세 변 위에 있는 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $b_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n b_n}{a_n+2^n}$의 값을 구하시오. [4점]