2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

$2$ 이상의 자연수 $x$에 대하여
$\log_x n$ ($n$은 $1\le n\le300$인 자연수)
가 자연수인 $n$의 개수를 $A\left(x\right)$라 하자. 예를 들어, $A\left(2\right)=8$, $A\left(3\right)=5$이다.
집합 $P=\left\{2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8\right\}$의 공집합이 아닌 부분집합 $X$에 대하여 집합 $X$에서 집합 $X$로의 대응 $f$를

로 정의하면 어떤 대응 $f$는 함수가 된다. 함수 $f$가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 $X$의 개수를 구하시오. [4점]