2005학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 미분과 적분 29번

곡선 $y=3x^2$ ($0\le y\le10$)를 $y$축 둘레로 회전시킨 회전체 $A$와 곡선 $y=x^2$ ($0\le y\le10$)를 $y$축 둘레로 회전시킨 회전체 $B$가 있다.

처음에는 물이 $A$의 안쪽에만 차 있다가 원점 $O$ 부근의 작은 구멍을 통하여 $A$의 바깥쪽과 $B$의 안쪽으로 둘러싸인 부분으로 흘러 나가기 시작한다.

$A$의 안쪽 수면의 높이를 $u$, $A$의 바깥쪽 수면의 높이를 $v$라 할 때, $v$가 $u$의 $\frac12$이 되는 순간의 $\frac{dv}{du}$의 값은? [4점]