2020학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 두 선분 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{C_1D_1}$이 서로 평행하고 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=10$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=\overline{\mathrm{C_1D_1}}=\overline{\mathrm{D_1A_1}}=6$인 사다리꼴 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. 세 선분 $\mathrm{B_1C_1}$, $\mathrm{C_1D_1}$, $\mathrm{D_1A_1}$의 중점을 각각 $\mathrm{E_1}$, $\mathrm{F_1}$, $\mathrm{G_1}$이라 하고 두 개의 삼각형 $\mathrm{C_1F_1E_1}$, $\mathrm{D_1G_1F_1}$을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm{A_1B_1}$ 위의 두 점 $\mathrm{A_2}$, $\mathrm{B_2}$와 선분 $\mathrm{E_1F_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 선분 $\mathrm{F_1G_1}$ 위의 점 $\mathrm{D_2}$를 꼭짓점으로 하고 두 선분 $\mathrm{A_2B_2}$, $\mathrm{C_2D_2}$가 서로 평행하며 $\overline{\mathrm{B_2C_2}}=\overline{\mathrm{C_2D_2}}=\overline{\mathrm{D_2A_2}}$, $\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{B_2C_2}}=5:3$인 사다리꼴 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 사다리꼴 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$에 두 개의 삼각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]