2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 22번

그림과 같이 점 $A$를 꼭짓점으로 하고 선분 $BC$를 밑면의 지름으로 하며 $\overline{AB}=100$, $\overline{BC}=50$인 직원뿔이 있다. 모선 $AC$ 위의 점 $Q_1$은 점 $B$에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 $AC$에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 $AB$ 위의 점 $Q_2$는 점 $Q_1$에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 $AB$에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 $Q_n$은 모선 $AB$ 또는 $AC$ 위의 점 $Q_{n-1}$에서 원뿔의 옆면을 돌아 다른 모선에 최단 거리로 이르는 점이라고 하자. 점 $Q_{n-1}$에서 점 $Q_n$에 이르는 최단 거리를 $l_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은 $a+b\sqrt2$이다. $a+b$의 값을 구하시오. (단, $B=Q_0$, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]