2012학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 30번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $R$의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 $R$의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 $R_1$을 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $T_1$이라 하자.

그림 $T_1$에서 정사각형 $R_1$의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 $R_1$의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 $R_2$를 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $T_2$라 하자.

그림 $T_2$에서 정사각형 $R_2$의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 $R_2$의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 $R_3$를 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $T_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림을 $T_n$이라 하고 그림 $T_n$에 색칠되어 있는 모든 모양의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n=p+q\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 유리수이다.) [4점]

$T_1$

$T_2$

$T_3$

$\cdots$

$\cdots$