2019학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 16번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{OA}_1}=4$, $\overline{\mathrm{OB}_1}=4\sqrt3$인 직각삼각형 $\mathrm{OA}_1\mathrm{B}_1$이 있다. 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OA}_1}$인 원이 선분 $\mathrm{OB}_1$과 만나는 점을 $\mathrm{B}_2$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OA}_1\mathrm{B}_1$의 내부와 부채꼴 $\mathrm{OA}_1\mathrm{B}_2$의 내부에서 공통된 부분을 제외한모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 점 $\mathrm{B}_2$를 지나고 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{OA}_1$과 만나는 점을 $\mathrm{A}_2$, 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OA}_2}$인 원이 선분 $\mathrm{OB}_2$와 만나는 점을 $\mathrm{B}_3$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2$의 내부와 부채꼴 $\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_3$의 내부에서 공통된 부분을 제외한모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]