2005학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$의 삼등분 점을 $\mathrm A_1$, $\mathrm A_2$라 하고 선분 $\mathrm{BA}_1$, $\mathrm A_1\mathrm A_2$, $\mathrm A_2\mathrm C$를 각각 한 변으로 하는 정삼각형 $\mathrm B_1\mathrm B\mathrm A_1$, $\mathrm P_1\mathrm A_1\mathrm A_2$, $\mathrm C_1\mathrm A_2\mathrm C$를 만든다.

다시 삼각형 $\mathrm A\mathrm B_1\mathrm C_1$에서 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$의 삼등분 점을 $\mathrm A_3$, $\mathrm A_4$라 하고 같은 방법으로 세 정삼각형 $\mathrm B_2\mathrm B_1\mathrm A_3$, $\mathrm P_2\mathrm A_3\mathrm A_4$, $\mathrm C_2\mathrm A_4\mathrm C_1$을 만든다. 이와 같은 방법으로 계속하여 삼각형을 만들어 나갈 때, 어두운 부분의 넓이의 합은? [4점]