미분가능성과 연속성이 정하는 분모의 두 근

두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f'(2)=2a$인 이차함수 $f(x)$가 있다. 함수 $g(x)$를

라 하자. 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 $c$에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(x)$를

라 하자. 함수 $h(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이고, 어떤 양의 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to0+}h(x)=\alpha$가 성립한다. $a+b+e^c$의 값을 구하시오.