2019학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 30번

최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=\frac1{2+\sin(f(x))}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고, $\alpha\geq0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, $\alpha_5$, $\cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle g'\left(-\frac12\right)=a\pi$라 할 때, $a^2$의 값을 구하시오.

(단, $\displaystyle0<f(0)<\frac\pi2$) [4점]