2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선이 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.
$\overline{\mathrm{AP}}=x$라 할 때, $S\left(x\right)$를 다음과 같이 정의한다.
$0<x<2$일 때 $S\left(x\right)$는 두 선분 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{PQ}$와 호 $\mathrm{AQ}$로 둘러싸인 도형의 넓이이고, $x=2$일 때 $S\left(x\right)$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.

일 때, $\dfrac{30p}q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 유리수이다.) [4점]