2024학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 29번

장축의 길이가 $8$이고 두 초점이 $\mathrm{F}\left(2,\,0\right),\,\mathrm{F}'\left(-2,\,0\right)$인 타원을 $C_1$이라 하자. 장축의 길이가 $12$이고 두 초점이 $\mathrm{F},\,\mathrm{P}\left(a,\,0\right)\ \left(a>2\right)$인 타원을 $C_2$라 하자. 두 타원 $C_1$과 $C_2$가 만나는 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}},\,\overline{\mathrm{FQ}},\,\overline{\mathrm{PQ}}$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a=p+q\sqrt{10}$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$는 정수이다.) [4점]