2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 21번

반지름의 길이가 $3$인 원 $O_1$이 있다. 그림과 같이 원 $O_1$에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 $A_1$, $B_1$, $C_1$의 중심을 지나는 원을 $O_2$라 하자. 원 $O_2$에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 $A_2$, $B_2$, $C_2$의 중심을 지나는 원을 $O_3$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 그린 원 $O_n$의 둘레의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty l_n$의 값은? [4점]