2024학년도 경찰대학 1차 시험 수학 영역 18번

모든 자연수 $n$에 대하여 세 점 $(n-1,1)$, $(n,0)$, $(n,1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $T_n$, 직선 $y=\frac xn$가 직선 $y=1$과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 점 $\mathrm{A}_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}_n$이라 할 때, 삼각형 $T_1,T_2,\ldots,T_n$의 내부와 삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n$의 내부의 공통부분의 넓이를 $a_n$이라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 $a_3$은 세 삼각형 $T_1,T_2,T_3$의 내부와 삼각형 $\mathrm{OA}_3\mathrm{B}_3$의 내부의 공통부분의 넓이를 나타내고 $a_3=\frac7{12}$이다. $a_{50}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [5점]