파란띠 2기출문제

2006학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 11번

다음은 자연수 $n$ 에 대하여 $\log_2n$ 이 유리수이면 $n$ 을 $n=2^k$ (단, $k$ 는 $k\ge0$ 인 정수)의 꼴로 나타낼 수 있음을 증명한 것이다.

<증명>

자연수 $n$ 에 대하여 $\log_2n$ 이 유리수라고 하자.

$n$ 이 자연수이므로

n=2^k\cdot m

을 만족시키는 $k\ge0$ 인 정수 $k$ 와 홀수인 자연수 $m$ 이 존재한다. 그러면

\log_2n=\boxed{\text{(가)}}

따라서 $\log_2n$ 이 유리수이면 $\log_2m$ 도 유리수이어야 하므로

\log_2m=\frac qp\quad(\text{단, }p\text{는 자연수이고 }q\text{는 정수})

로 놓을 수 있다. 그러면

\boxed{\text{(나)}}

$m$ 이 홀수이므로 $m^p$ 은 홀수이다.

따라서 $2^q$ 도 홀수이어야 하므로

\boxed{\text{(다)}}

이고 $m=1$ 이다. 따라서 $n$ 을

n=2^k\quad(\text{단, }k\text{는 }k\ge0\text{인 정수})

의 꼴로 나타낼 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

$\text{(가)}\qquad\text{(나)}\qquad\text{(다)}$

정답률 –풀이 수 –정답 시 +12 Rating

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