빨간띠 5수능형

등차수열과 삼차함수 2

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f\left(x\right)$ 와 함수

g\left(x\right)=\int_{\scriptstyle 0}^{\raisebox{-0.17em}{$\scriptstyle x$}} f\left(t\right)\,dt

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f\left(x\right)=x-2$ 의 세 실근을 $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ 라 할 때, $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ 는 이 순서대로 등차수열을 이루며 $\alpha\beta\gamma=0$ 이다.
(나) 함수 $\left|g\left(x\right)\right|$ 는 $x=b$ 에서 오직 하나의 극댓값 $f\left(0\right)f'\left(0\right)$ 만을 가진다.

$k<\left|g\left(b\right)\right|$ 인 실수 $k$ 에 대하여 함수

h\left(x\right)=\left|\left|g\left(x\right)+k\right|+g\left(b\right)+k\right|

가 실수 전체 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 모든 $k$ 의 값의 합을 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$ 는 서로소인 자연수)