시야각의 최적점으로 정의한 함수

상수 $k$와 이차함수 $f(x)$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(0,2^x)$, $\mathrm{B}(0,2^{f(x)})$는 모든 실수 $x$에서 서로 다르다. $1\le t\le2^k$일 때 $\angle\mathrm{APB}$를 최대로 하는 점 $\mathrm{P}(t,0)$의 $t$의 값을 $g(x)$라 하자. 함수 $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a<0$이고, 함수

가 $x=0$에서 극소이고 극댓값이 $0$이다. $\displaystyle\int_1^7|F^{\prime}(x)|\,dx\times\int_a^7|F^{\prime}(x)|\,dx$의 값을 구하시오.