자유

[칼럼]수학도장 수능 직전 모의 고사 1회 15번 자유도에 대하여

SnuKrYsplz2026.11.05 · 조회 108

지금 정답률 48%정도 나오는데 수능장에선 더 낮을 거라 생각합니다. (수학도장이 초-엘리트 커뮤니티기 때문이죳) 수학도장님 스포글에서도 보셨다시피 결론이 꽤 심플합니다. 결론이 심플한 것에 억울하신 분들도 있겠다 생각해서 $g(x)={f(x)}^2$ 을 볼 수 있는 시야를 소개합니다.

다항함수의 자유도

이는 수학한수 채널에도 등장했던 개념인데요, 다항함수는 각 차수(이하 n)을 가지고 차수에 따라 자유도가 결정됩니다. 여기서 자유도란 우리가 움직일 수 있는 'variable'의 개수를 뜻하는데요, 흔히 수학에서 '변수'라 하면 함수 내에서 원인 변수 (x)와 종속 변수 (y)를 떠올리곤 합니다. 허나 여기서 말하는 variable이란 (물론 변수가 variable의 역어긴합니다만, 구분하고 싶었습니다.) 각항의 차수로 나타날 수 있는 함수를 결정하는 원인들입니다.

cf) variable

예를 들어보겠습니다. 우리가 저격수라고 해보죠. 그럼 총알이 날아가는 궤적이 있을 겁니다. 우리는 목표물을 저격하기 위해 우리의 궤적이 목표물을 지나게 해야할 것입니다. 이때 함수의 원인변수 종속변수는 탄환의 움직임을 표현하는 것으로 이해할 수 있겠습니다. 그리고 제가 언급한 variable은 이 궤적 자체를 바꾸는 것입니다. 저격수 비유가 마음에 드는 게 단순 개념 설명이 아닌 문제 풀이 과정도 꽤 유사하기 때문입니다. (전 칼럼 참고)

다시 본론으로 돌아오자면 variable은 함수를 결정하는 역할을 합니다. 가령 일차함수는 variable이 두개입니다. 기울기와 y절편으로 나타낼 수도 있죠. (다른 방법도 많습니다.) 이차함수는 variable이 세 개인데, 일반형으로 써서 계수로 나타내거나 꼭짓점의 좌표쌍과 폭으로 나타내는 방법이 많이 쓰입니다. 결론은 n차함수는 n+1의 variable을 가지고 이가 곧 자유도라는 것입니다. (추가적으로 자유도라는 이름이 붙은 이유는 variable을 움직이면서 다양한 형태와 위치의 함수를 만들 수 있기 때문입니다.)

자유도의 제한

이전 칼럼에서도 언급했듯 모든 수II (사실 수I 에서도 그래프 문제는 비슷한 맥락을 지닙니다.) 문제는 1. 조건해석 → 2. 그래프로 상황추론 → 3.식으로 답 도출 의 과정을 거칩니다. 자유도의 제한은 1→2에서 쓰이는 개념으로 조건이 걸리며 가능한 함수가 제한됩니다. 유명한 말이 있죠. "식 하나에 문자 하나" 맞는 말입니다. 그리고 보통 문자=variable 이기 때문에 n차함수를 결정하는데 n개의 식이 필요하다고 표현하기도 합니다. 즉 식 하나를 적용할 때마다 variable 하나 만큼 결정된다고 보시면 됩니다. 다만 앞서 "하나 만큼"이라고 한 이유는 꼭 하나의 variable이 숭덩 잘려나가는 건 아니기 때문입니다. 가령 $4f(0)=f(2)+3$ 같은 식을 얻었을 때 일반형의 variable을 한개 제거할 수 없습니다. (나중가면 저 식을 살려서 식의 형태를 시작하고 저 식만으로 variable 한 개가 제거되는 방법도 칼럼으로 쓸 예정입니다.) 무튼 요지는 우리가 문제를 풀 때 내 함수의 자유도가 얼마이고 문제에서 요구하는 자유도가 몇인지를 의식해야한다는 겁니다.

(해당 수학한수님 영상입니다. 참고하시면 학습에 도움이 됩니다.)

풀이 (이하 a를 많이 쓰는데 문제에 a가 있어서 문제의 a를 α로 수정합니다. 죄송합니다.)

15번 보겠습니다. (여건이 되시는 분들은 멀티스크린으로 동시에 보시면 좋습니다.) 첫 조건은 플랫하게 f(x)의 근을 g(x)가 모두 갖는다 정도로 해석하시면 됩니다. 이때 g(x)의 식을

g(x)=f(x)(x^2+mx+n)

정도로 시작하시면 훌륭합니다. 이때 f(x) 뒤를 Q(x)라고 해도 좋고 안 해도 좋은데 전 하겠습니다. 이는 f(x)도 결국 인수분해될 거고(상수항 음수이므로) 그 두개의 인수를 모두 가지면 실상 f(x)를 갖는 것과 같기 때문에 가능합니다. 최고차 계수까지 고려하시면 어렵잖게 다음으로 g(x)를 시작하실 수 있습니다.

그러고 두번째 조건을 보겠습니다. 어우 폭력적이네요. 하나의 팁을 드리자면 조건이 복잡하다는 건 두가지입니다. 1. 복잡한 만큼 많은 정보를 담고있다. 2. 사실 안 복잡하지롱 이 문제는 2에 해당하는데요 무려 분자가 인수분해가 됩니다. (올해 수특에 비슷한 아이디어가 있었던 거 같은데 차후에 알아보고 댓글 달겠습니다.) 무튼 인수분해 하고 나면 $|(f(x)-1)(g(x)-1)|$ 이 나오는데요 절대값에서 가장 중요한 성질은 $|AB|=|A||B|$ 라고 봅니다. 이 문제도 그 성질을 사용합니다. 절대값을 분할하면 극한이 다음과 같아지는데요

lim(g(x)-1)\dfrac{|f(x)-1|}{(f(x)-1)}

뒤에 f 부분에 대해서 좀 설명하겠습니다.

cf. 판단 연산자

절대값은 여러가지로 활용이 되지만 판단 연산자는 정말 중요합니다. (사실 기출에선 잘 못 본 거 같고 사설에서 많이 보이는 거 같습니다. 기출에서 절대값을 활용하는 부호제거자는 다음에 봅시다.)

f(x)=\dfrac{|x|}{x}

이는 판단 연산자의 기초적인 형태로 역수로 쓰기도 합니다. 중요한 건 이친구가 x가 양수일 때 1을 뱉고 음수일 때 -1을 뱉는다는 사실입니다. (0일 때는 정의되지 않음.) 이렇게 digital하게 함수값을 뱉다보니 쓰임새가 좋습니다. (조각적 정의로 이해하는 것이 좋은데 그 내용은 다른 칼럼에서 다루겠습니다.)

본론으로 돌아와서 그럼 우리 문제의 극한을 이해해보자면

lim(g(x)-1)\dfrac{|f(x)-1|}{(f(x)-1)}

은 f(x)가 1보다 클 때 (g(x)-1을 뱉고 1보다 작을 때 -(g(x)-1)을 뱉네요! 물론 f(x)=1일 때도 극한이 존재해야겠습니다.

그럼 일단 f(x)=1의 근을 a,b라고 해봅시다.

f(x)=(x-a)(x-b)+1

(상수항이 음수이기 서로 다른 두 실근이 존재합니다.) 이때 x=a에서 극한이 존재해야하는데 좌극한에선 +(g(a)-1)을 뱉고 우극한에선 -(g(a)-1)을 뱉으니(a가 단일근이기 때문입니다.) 둘이 같으려면 0밖에 없겠죠. 즉 g(a)-1=0이고 x=b에선 좌우만 바꿔서 생각해주면 g(b)-1=0이라는 걸 알 수 있습니다.

이때 우리는 자유도에 대해 생각해봐야하는데요, 우리가 위에서 시작한 g(x)는 미정계수가 m,n으로 두개였습니다. (g(x)의 관점이므로 f(x)는 결정되었다 칩니다. ) 이때 우리는 근 두개를 구했으니 g(x)의 자유도는 0 결정된다는 뜻이겠네요. (사실 그 두근이 이미 결정된 근에 포함된다는 논리도 생각하면 골치 아프긴 한데 여기선 f(x)=0의 근과 f(x)=1의 근이 다르다는 것에 착안해 그 경우는 배제합니다.) 결정이라는 말을 할 때는 필연적으로 식을 세워야하는데 (전술한 2→3) 효율적으로 세우는 게 중요합니다. 저는 f(a)=g(a)=1임을 열심히 사용해보겠습니다. g(a)=f(a)* Q(a)=1인데 f(a)가 1이므로 Q(a)=1입니다. b에서도 똑같은데요, 그럼 Q(x)는 Q(a)=1이고 Q(b)=1이며 최고차항의 계수가 1인 이차함수입니다. 어? 이거 어디서 본 거 같지 않냐고요? 맞습니다. f(x)와 성질이 유사하죠. 여기서 자유도 논리가 없으면 f(x)=Q(x)로 두기 부담스럽습니다. 뭔가 다를 수 있지 않을까하는 의심 때문이죠. 하지만 우리는 이차함수의 자유도는 3이고 3개의 서로다른 식을 만족시키는 이차함수는 단하나 뿐이라는 걸 배웠습니다. 즉 Q(x)=f(x)였고 g(x)는 다음과 같습니다.

g(x)=f(x)^2

오늘 칼럼의 요지는 끝났지만 마무리에도 스킬이 하나 들어가서 좀 더 써보겠습니다.

(나)조건은 꽤 착해보이는데 이것도 꽤 스킬풀하게 볼 수 있습니다. g(x)=f(x)^2이므로 (나) 조건을

f(x)^2+6f(x)의 최소값은 -8이다. 라고 바꿀 수 있겠습니다. (동치임) 이거이거 합성함수 아닌가요?

min[(x^2+6x)∘f(x)]=-8

이걸 N축화 해봅시다. N축에 대해 궁금하신 분들은 수학한수님 합성함수 시리즈를 시청하고 오시는 걸 권합니다.

이때 -8의 의미를 알 필요가 있는데 이는 $x^2+6x$ 에 -2를 넣으면 나오는 값입니다. 대칭적으로 -4도 되긴합니다만 속함수의 만일 최솟값이 t=-4에서 나온다면 t=-3일 때가 더 작아서 문제가 생깁니다. 즉 f(x)의 꼭짓점의 y좌표는 -2입니다. 계산만 남았군요.

f(x)= $x^2+kx-1$ 이 최소값 -2를 가지려면

f(x)=(x+\dfrac{k}2)^2-\dfrac{k^2}4-1

에서 남는 항이 -2여야겠죠. k는 양수이므로 k=2 답은 2번입니다.

사실 제가 수II에서 강조하는 건 야수성입니다. 위 칼럼처럼 논리 하나하나 따져가면서 풀면 시간 안에 절대 못하죠. 안 될 거 없으면 고입니다. 저도 풀면서 되겠는데?되겠는데? 하면서 푸는 문제가 정말 많습니다. 다들 야수가 되시길 바랍니다.

쓰다보니 하고픈 말이 많아서 길어졌는데, 앞으론 절제하는 연습도 좀 해야겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사하고 다음에 뵙겠습니다.